Thermodynamik: Gaszustandsänderungen

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Herleitung: Bei einem idealen Gas wirken zwischen den Gasteilchen keinerlei Kräfte, die Innere Energie ist deshalb nur von der Temperatur abhängig. Folglich ändert sie sich bei isothermer Volumen- bzw. Druckänderung nicht.

Die Änderung der Enthalpie ist allgemein dh = du + d(pV). Wie beschrieben ist du = 0, und der zweite Summand wird mit der →idealen Gasgleichung zu d(nRT). Bei isothermer Prozeßführung im geschlossenen System sind n, R und T Konstanten, d. h. auch d(nRT) = 0. Damit liegt keine Enthalpieänderung vor. Entsprechendes gilt für die intensiven molaren Größen.

Herleitung: Aus der Definition der Enthalpie h = u + pV ergibt sich

u = h - pV

Es ändert sich u um du, h um dh, V um dV und p bleibt wegen der isobaren Prozeßführung konstant:

u = h - pV
u + du = h + dh - pV - pdV
u + pV + du = h + dh - pdV

Nun ersetzt man auf der linken Seite u + pV nach obiger Definition durch h und subtrahiert h auf beiden Seiten:

du = dh - pdV

Da p konstant bleibt, kann man die Differential- in eine Differenzgleichung umschreiben. Nach Teilen durch die Stoffmenge erhält man die endgültige Gleichung.

Herleitung: Die Enthalpieänderung kann auch als zugeführte Wärmemenge bei konstantem Druck definiert werden. Dies läßt sich ausgehend von der allgemeinen Definition der Enthalpie wie folgt zeigen:

h = u + pV

Die nächsten Schritte verlaufen analog zur Herleitung der →isobaren Änderung der Inneren Energie, und man erhält nach schließlicher Subtraktion von h

dh = du + pdV.

Mit du = dq - pdV ergibt sich

dh = dq.

dq ist unter isobaren Bedingungen gleich c_pdT. Nun teilt man noch durch die Stoffmenge und erhält die gesuchte Beziehung unter der Annahme, daß C_p für die betrachteten Temperaturdifferenzen konstant bleibt (in der Praxis verwendet man oftmals geeignete Mittelwerte).

Erläuterung: Die Änderung der Inneren Energie eines idealen Gases entspricht der zugeführten Wärmemenge abzüglich der vom System geleisteten Arbeit. Da unter isochoren Bedingungen keine Volumenarbeit verrichtet werden kann (dV = 0 und damit auch dw = -pdV = 0) und andere Arten der Arbeit ausgeschlossen wurden, ist die isochore Änderung der Inneren Energie gleich der unter isochoren Bedingungen ausgetauschten Wärmemenge.

Diese Wärmemenge entspricht dem Produnkt aus der Wärmekapazität bei konstantem Volumen und der Temperaturdifferenz, sofern man die Vereinfachung vornimmt, daß diese Wärmekapazität temperaturunabhängig ist.

Herleitung: Ausgegangen wird von der algemeinen Definition der Enthalpie

h = u + pV.

h ändert sich um dh, u um du, p um dp und V bleibt unter den isochoren Bedingungen konstant. Nach dem Einsetzen erhält man:

h + dh = u +du + (p + dp)V
h + dh = u + du + pV + dpV

Auf der rechten Seite kann man u + pV durch h ersetzen und dann h auf beiden Seiten subtrahieren. Das Ergebnis ist

dh = du + dpV.

Da man in der Praxis Temperaturunterschiede meist leichter messen kann als Druckdifferenzen, kann man den letzten Summanden sinnvollerweise mit Hilfe der →idealen Gasgleichung zu nRdT umformen.

Nach dem Teilen durch die Stoffmenge und Umschreiben zu einer Differenzgleichung erhält man die gesuchte Beziehung.

© Alexander Laatsch, letzte Aktualisierung am 28.11.06